3.203 \(\int \frac{(e+f x)^3 \csc ^2(c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=463 \[ -\frac{12 i f^2 (e+f x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{3 i f^2 (e+f x) \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{6 f^2 (e+f x) \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{6 f^2 (e+f x) \text{PolyLog}\left (3,e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{12 f^3 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}+\frac{3 f^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}+\frac{6 i f^3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}-\frac{6 i f^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}+\frac{6 f (e+f x)^2 \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 f (e+f x)^2 \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{(e+f x)^3 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}+\frac{\pi }{4}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{2 i (e+f x)^3}{a d} \]

[Out]

((-2*I)*(e + f*x)^3)/(a*d) + (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d
*x)/2])/(a*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c + d*x])/(a*d) + (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (3*f
*(e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2
) - ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d
*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -
E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (12*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*
(c + d*x))])/(a*d^3) + (3*f^3*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*
x))])/(a*d^4) - ((6*I)*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.775845, antiderivative size = 463, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 24, number of rules used = 10, integrand size = 28, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.357, Rules used = {4535, 4184, 3717, 2190, 2531, 2282, 6589, 4183, 6609, 3318} \[ -\frac{12 i f^2 (e+f x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{3 i f^2 (e+f x) \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{6 f^2 (e+f x) \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{6 f^2 (e+f x) \text{PolyLog}\left (3,e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{12 f^3 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}+\frac{3 f^3 \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}+\frac{6 i f^3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}-\frac{6 i f^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}+\frac{6 f (e+f x)^2 \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 f (e+f x)^2 \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{(e+f x)^3 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}+\frac{\pi }{4}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{2 i (e+f x)^3}{a d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((e + f*x)^3*Csc[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]),x]

[Out]

((-2*I)*(e + f*x)^3)/(a*d) + (2*(e + f*x)^3*ArcTanh[E^(I*(c + d*x))])/(a*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c/2 + Pi/4 + (d
*x)/2])/(a*d) - ((e + f*x)^3*Cot[c + d*x])/(a*d) + (6*f*(e + f*x)^2*Log[1 - I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2) + (3*f
*(e + f*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(c + d*x))])/(a*d^2
) - ((12*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + ((3*I)*f*(e + f*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(c + d
*x))])/(a*d^2) - ((3*I)*f^2*(e + f*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(c + d*x))])/(a*d^3) + (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, -
E^(I*(c + d*x))])/(a*d^3) + (12*f^3*PolyLog[3, I*E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4) - (6*f^2*(e + f*x)*PolyLog[3, E^(I*
(c + d*x))])/(a*d^3) + (3*f^3*PolyLog[3, E^((2*I)*(c + d*x))])/(2*a*d^4) + ((6*I)*f^3*PolyLog[4, -E^(I*(c + d*
x))])/(a*d^4) - ((6*I)*f^3*PolyLog[4, E^(I*(c + d*x))])/(a*d^4)

Rule 4535

Int[(Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*Sin[(c_.) + (d_.)*(x_)]), x_Symbo
l] :> Dist[1/a, Int[(e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^n, x], x] - Dist[b/a, Int[((e + f*x)^m*Csc[c + d*x]^(n - 1))/(a +
b*Sin[c + d*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0] && IGtQ[n, 0]

Rule 4184

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cot[e + f*x])/f, x]
+ Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3717

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*
(m + 1)), x] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 3318

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.), x_Symbol] :> Dist[(2*a)^n, Int[(c
+ d*x)^m*Sin[(1*(e + (Pi*a)/(2*b)))/2 + (f*x)/2]^(2*n), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && EqQ[a^2
- b^2, 0] && IntegerQ[n] && (GtQ[n, 0] || IGtQ[m, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(e+f x)^3 \csc ^2(c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx &=\frac{\int (e+f x)^3 \csc ^2(c+d x) \, dx}{a}-\int \frac{(e+f x)^3 \csc (c+d x)}{a+a \sin (c+d x)} \, dx\\ &=-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}-\frac{\int (e+f x)^3 \csc (c+d x) \, dx}{a}+\frac{(3 f) \int (e+f x)^2 \cot (c+d x) \, dx}{a d}+\int \frac{(e+f x)^3}{a+a \sin (c+d x)} \, dx\\ &=-\frac{i (e+f x)^3}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{\int (e+f x)^3 \csc ^2\left (\frac{1}{2} \left (c+\frac{\pi }{2}\right )+\frac{d x}{2}\right ) \, dx}{2 a}-\frac{(6 i f) \int \frac{e^{2 i (c+d x)} (e+f x)^2}{1-e^{2 i (c+d x)}} \, dx}{a d}+\frac{(3 f) \int (e+f x)^2 \log \left (1-e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d}-\frac{(3 f) \int (e+f x)^2 \log \left (1+e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d}\\ &=-\frac{i (e+f x)^3}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{3 f (e+f x)^2 \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{(3 f) \int (e+f x)^2 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right ) \, dx}{a d}+\frac{\left (6 i f^2\right ) \int (e+f x) \text{Li}_2\left (-e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d^2}-\frac{\left (6 i f^2\right ) \int (e+f x) \text{Li}_2\left (e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d^2}-\frac{\left (6 f^2\right ) \int (e+f x) \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d^2}\\ &=-\frac{2 i (e+f x)^3}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{3 f (e+f x)^2 \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f^2 (e+f x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{(6 f) \int \frac{e^{2 i \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right )} (e+f x)^2}{1-i e^{2 i \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right )}} \, dx}{a d}+\frac{\left (3 i f^3\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{2 i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d^3}-\frac{\left (6 f^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d^3}+\frac{\left (6 f^3\right ) \int \text{Li}_3\left (e^{i (c+d x)}\right ) \, dx}{a d^3}\\ &=-\frac{2 i (e+f x)^3}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{6 f (e+f x)^2 \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 f (e+f x)^2 \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f^2 (e+f x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{\left (12 f^2\right ) \int (e+f x) \log \left (1-i e^{2 i \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right )}\right ) \, dx}{a d^2}+\frac{\left (6 i f^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}-\frac{\left (6 i f^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}+\frac{\left (3 f^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}\\ &=-\frac{2 i (e+f x)^3}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{6 f (e+f x)^2 \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 f (e+f x)^2 \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{12 i f^2 (e+f x) \text{Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f^2 (e+f x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{3 f^3 \text{Li}_3\left (e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}+\frac{6 i f^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}-\frac{6 i f^3 \text{Li}_4\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}+\frac{\left (12 i f^3\right ) \int \text{Li}_2\left (i e^{2 i \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right )}\right ) \, dx}{a d^3}\\ &=-\frac{2 i (e+f x)^3}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{6 f (e+f x)^2 \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 f (e+f x)^2 \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{12 i f^2 (e+f x) \text{Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f^2 (e+f x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}-\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{3 f^3 \text{Li}_3\left (e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}+\frac{6 i f^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}-\frac{6 i f^3 \text{Li}_4\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}+\frac{\left (12 f^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(i x)}{x} \, dx,x,e^{2 i \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right )}\right )}{a d^4}\\ &=-\frac{2 i (e+f x)^3}{a d}+\frac{2 (e+f x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot \left (\frac{c}{2}+\frac{\pi }{4}+\frac{d x}{2}\right )}{a d}-\frac{(e+f x)^3 \cot (c+d x)}{a d}+\frac{6 f (e+f x)^2 \log \left (1-i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}+\frac{3 f (e+f x)^2 \log \left (1-e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{12 i f^2 (e+f x) \text{Li}_2\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{3 i f (e+f x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^2}-\frac{3 i f^2 (e+f x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{12 f^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}-\frac{6 f^2 (e+f x) \text{Li}_3\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^3}+\frac{3 f^3 \text{Li}_3\left (e^{2 i (c+d x)}\right )}{2 a d^4}+\frac{6 i f^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}-\frac{6 i f^3 \text{Li}_4\left (e^{i (c+d x)}\right )}{a d^4}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 10.7448, size = 1013, normalized size = 2.19 \[ \frac{-d^3 x^3 \log \left (1-e^{-i (c+d x)}\right ) f^3+d^3 x^3 \log \left (1+e^{-i (c+d x)}\right ) f^3+3 \left (i d^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (c+d x)}\right ) x^2+2 d \text{PolyLog}\left (3,-e^{-i (c+d x)}\right ) x-2 i \text{PolyLog}\left (4,-e^{-i (c+d x)}\right )\right ) f^3-3 i \left (d^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (c+d x)}\right ) x^2-2 i d \text{PolyLog}\left (3,e^{-i (c+d x)}\right ) x-2 \text{PolyLog}\left (4,e^{-i (c+d x)}\right )\right ) f^3-3 d^2 (d e-f) x^2 \log \left (1-e^{-i (c+d x)}\right ) f^2+3 d^2 (d e+f) x^2 \log \left (1+e^{-i (c+d x)}\right ) f^2+6 (d e+f) \left (i d x \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (c+d x)}\right )+\text{PolyLog}\left (3,-e^{-i (c+d x)}\right )\right ) f^2-6 i (d e-f) \left (d x \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (c+d x)}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,e^{-i (c+d x)}\right )\right ) f^2-3 d^2 e (d e-2 f) x \log \left (1-e^{-i (c+d x)}\right ) f+3 d^2 e (d e+2 f) x \log \left (1+e^{-i (c+d x)}\right ) f+3 i d e (d e+2 f) \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (c+d x)}\right ) f-3 i d e (d e-2 f) \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (c+d x)}\right ) f-\frac{2 i d^3 (e+f x)^3}{-1+e^{2 i c}}+i d^2 e^2 (d e-3 f) \left (d x+i \log \left (1-e^{i (c+d x)}\right )\right )+d^2 e^2 (d e+3 f) \left (\log \left (1+e^{i (c+d x)}\right )-i d x\right )}{a d^4}-\frac{6 f (\cos (c)+i \sin (c)) \left (\frac{(\cos (c)-i \sin (c)) (e+f x)^3}{3 f}-\frac{\log (i \cos (c+d x)+\sin (c+d x)+1) (i \cos (c)+\sin (c)+1) (e+f x)^2}{d}+\frac{2 f (d (e+f x) \text{PolyLog}(2,-i \cos (c+d x)-\sin (c+d x))-i f \text{PolyLog}(3,-i \cos (c+d x)-\sin (c+d x))) (\cos (c)-i (\sin (c)+1))}{d^3}\right )}{a d (\cos (c)+i (\sin (c)+1))}+\frac{\csc \left (\frac{c}{2}\right ) \csc \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right ) \left (\sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e^3+3 f x \sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e^2+3 f^2 x^2 \sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e+f^3 x^3 \sin \left (\frac{d x}{2}\right )\right )}{2 a d}+\frac{\sec \left (\frac{c}{2}\right ) \sec \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right ) \left (\sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e^3+3 f x \sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e^2+3 f^2 x^2 \sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e+f^3 x^3 \sin \left (\frac{d x}{2}\right )\right )}{2 a d}+\frac{2 \left (\sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e^3+3 f x \sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e^2+3 f^2 x^2 \sin \left (\frac{d x}{2}\right ) e+f^3 x^3 \sin \left (\frac{d x}{2}\right )\right )}{a d \left (\cos \left (\frac{c}{2}\right )+\sin \left (\frac{c}{2}\right )\right ) \left (\cos \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right )+\sin \left (\frac{c}{2}+\frac{d x}{2}\right )\right )} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[((e + f*x)^3*Csc[c + d*x]^2)/(a + a*Sin[c + d*x]),x]

[Out]

(((-2*I)*d^3*(e + f*x)^3)/(-1 + E^((2*I)*c)) - 3*d^2*e*(d*e - 2*f)*f*x*Log[1 - E^((-I)*(c + d*x))] - 3*d^2*(d*
e - f)*f^2*x^2*Log[1 - E^((-I)*(c + d*x))] - d^3*f^3*x^3*Log[1 - E^((-I)*(c + d*x))] + 3*d^2*e*f*(d*e + 2*f)*x
*Log[1 + E^((-I)*(c + d*x))] + 3*d^2*f^2*(d*e + f)*x^2*Log[1 + E^((-I)*(c + d*x))] + d^3*f^3*x^3*Log[1 + E^((-
I)*(c + d*x))] + I*d^2*e^2*(d*e - 3*f)*(d*x + I*Log[1 - E^(I*(c + d*x))]) + d^2*e^2*(d*e + 3*f)*((-I)*d*x + Lo
g[1 + E^(I*(c + d*x))]) + (3*I)*d*e*f*(d*e + 2*f)*PolyLog[2, -E^((-I)*(c + d*x))] - (3*I)*d*e*(d*e - 2*f)*f*Po
lyLog[2, E^((-I)*(c + d*x))] + 6*f^2*(d*e + f)*(I*d*x*PolyLog[2, -E^((-I)*(c + d*x))] + PolyLog[3, -E^((-I)*(c
+ d*x))]) - (6*I)*(d*e - f)*f^2*(d*x*PolyLog[2, E^((-I)*(c + d*x))] - I*PolyLog[3, E^((-I)*(c + d*x))]) + 3*f
^3*(I*d^2*x^2*PolyLog[2, -E^((-I)*(c + d*x))] + 2*d*x*PolyLog[3, -E^((-I)*(c + d*x))] - (2*I)*PolyLog[4, -E^((
-I)*(c + d*x))]) - (3*I)*f^3*(d^2*x^2*PolyLog[2, E^((-I)*(c + d*x))] - (2*I)*d*x*PolyLog[3, E^((-I)*(c + d*x))
] - 2*PolyLog[4, E^((-I)*(c + d*x))]))/(a*d^4) - (6*f*(Cos[c] + I*Sin[c])*(((e + f*x)^3*(Cos[c] - I*Sin[c]))/(
3*f) - ((e + f*x)^2*Log[1 + I*Cos[c + d*x] + Sin[c + d*x]]*(1 + I*Cos[c] + Sin[c]))/d + (2*f*(d*(e + f*x)*Poly
Log[2, (-I)*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]] - I*f*PolyLog[3, (-I)*Cos[c + d*x] - Sin[c + d*x]])*(Cos[c] - I*(1 +
Sin[c])))/d^3))/(a*d*(Cos[c] + I*(1 + Sin[c]))) + (Csc[c/2]*Csc[c/2 + (d*x)/2]*(e^3*Sin[(d*x)/2] + 3*e^2*f*x*S
in[(d*x)/2] + 3*e*f^2*x^2*Sin[(d*x)/2] + f^3*x^3*Sin[(d*x)/2]))/(2*a*d) + (Sec[c/2]*Sec[c/2 + (d*x)/2]*(e^3*Si
n[(d*x)/2] + 3*e^2*f*x*Sin[(d*x)/2] + 3*e*f^2*x^2*Sin[(d*x)/2] + f^3*x^3*Sin[(d*x)/2]))/(2*a*d) + (2*(e^3*Sin[
(d*x)/2] + 3*e^2*f*x*Sin[(d*x)/2] + 3*e*f^2*x^2*Sin[(d*x)/2] + f^3*x^3*Sin[(d*x)/2]))/(a*d*(Cos[c/2] + Sin[c/2
])*(Cos[c/2 + (d*x)/2] + Sin[c/2 + (d*x)/2]))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.307, size = 1705, normalized size = 3.7 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((f*x+e)^3*csc(d*x+c)^2/(a+a*sin(d*x+c)),x)

[Out]

-2*(-2*f^3*x^3+I*exp(I*(d*x+c))*f^3*x^3-6*e*f^2*x^2+3*I*exp(I*(d*x+c))*e*f^2*x^2-6*e^2*f*x+3*I*exp(I*(d*x+c))*
e^2*f*x-2*e^3+I*exp(I*(d*x+c))*e^3+f^3*x^3*exp(2*I*(d*x+c))+3*e*f^2*x^2*exp(2*I*(d*x+c))+3*e^2*f*x*exp(2*I*(d*
x+c))+e^3*exp(2*I*(d*x+c)))/(exp(2*I*(d*x+c))-1)/(exp(I*(d*x+c))+I)/d/a+3/d^2/a*f^3*ln(exp(I*(d*x+c))+1)*x^2+3
/d^2/a*f^3*ln(1-exp(I*(d*x+c)))*x^2-3/d^4/a*f^3*ln(1-exp(I*(d*x+c)))*c^2+3/d^4/a*f^3*c^2*ln(exp(I*(d*x+c))-1)+
3/d^2/a*e^2*f*ln(exp(I*(d*x+c))-1)+3/d^2/a*e^2*f*ln(exp(I*(d*x+c))+1)-4*I/d/a*f^3*x^3+8*I/d^4/a*f^3*c^3+12*f^2
/d^2/a*e*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*x-6*I*f^3*polylog(4,exp(I*(d*x+c)))/a/d^4-1/d/a*e^3*ln(exp(I*(d*x+c))-1)+1/d/a
*e^3*ln(exp(I*(d*x+c))+1)-6/d^3/a*e*f^2*c*ln(exp(I*(d*x+c))-1)-12*f^3/d^4/a*c^2*ln(exp(I*(d*x+c)))+6*f/d^2/a*l
n(exp(I*(d*x+c))+I)*e^2+6*f^3/d^4/a*c^2*ln(exp(I*(d*x+c))+I)-12*f/d^2/a*ln(exp(I*(d*x+c)))*e^2+3/d^2/a*e^2*f*c
*ln(exp(I*(d*x+c))-1)-3/d^3/a*e*f^2*c^2*ln(exp(I*(d*x+c))-1)+1/d/a*f^3*ln(exp(I*(d*x+c))+1)*x^3+6*I*f^3*polylo
g(4,-exp(I*(d*x+c)))/a/d^4+12*f^2/d^3/a*e*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*c+6*f^3/d^2/a*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*x^2-6*f^
3/d^4/a*ln(1-I*exp(I*(d*x+c)))*c^2+24*f^2/d^3/a*e*c*ln(exp(I*(d*x+c)))-12*f^2/d^3/a*e*c*ln(exp(I*(d*x+c))+I)-1
2*I/d^3/a*f^3*polylog(2,I*exp(I*(d*x+c)))*x-12*I/d^3/a*e*f^2*polylog(2,I*exp(I*(d*x+c)))+6*f^3*polylog(3,-exp(
I*(d*x+c)))/a/d^4+6*f^3*polylog(3,exp(I*(d*x+c)))/a/d^4-24*I/d^2/a*e*f^2*c*x+6*I/d^2/a*e*f^2*polylog(2,exp(I*(
d*x+c)))*x-6*I/d^2/a*e*f^2*polylog(2,-exp(I*(d*x+c)))*x-1/d/a*f^3*ln(1-exp(I*(d*x+c)))*x^3-1/d^4/a*f^3*ln(1-ex
p(I*(d*x+c)))*c^3+3/d/a*e*f^2*ln(exp(I*(d*x+c))+1)*x^2-3/d/a*ln(1-exp(I*(d*x+c)))*e^2*f*x+3/d/a*ln(exp(I*(d*x+
c))+1)*e^2*f*x-3/d/a*e*f^2*ln(1-exp(I*(d*x+c)))*x^2+3/d^3/a*e*f^2*ln(1-exp(I*(d*x+c)))*c^2-3/d^2/a*ln(1-exp(I*
(d*x+c)))*c*e^2*f+12*f^3*polylog(3,I*exp(I*(d*x+c)))/a/d^4-6/d^3/a*f^3*polylog(3,exp(I*(d*x+c)))*x+6/d^3/a*f^3
*polylog(3,-exp(I*(d*x+c)))*x+1/d^4/a*f^3*c^3*ln(exp(I*(d*x+c))-1)-6/d^3/a*e*f^2*polylog(3,exp(I*(d*x+c)))+6/d
^3/a*e*f^2*polylog(3,-exp(I*(d*x+c)))+6/d^2/a*e*f^2*ln(1-exp(I*(d*x+c)))*x+6/d^3/a*e*f^2*ln(1-exp(I*(d*x+c)))*
c+6/d^2/a*e*f^2*ln(exp(I*(d*x+c))+1)*x+3*I/d^2/a*e^2*f*polylog(2,exp(I*(d*x+c)))-3*I/d^2/a*e^2*f*polylog(2,-ex
p(I*(d*x+c)))-12*I/d/a*e*f^2*x^2-3*I/d^2/a*f^3*polylog(2,-exp(I*(d*x+c)))*x^2-6*I/d^3/a*e*f^2*polylog(2,exp(I*
(d*x+c)))-6*I/d^3/a*e*f^2*polylog(2,-exp(I*(d*x+c)))-12*I/d^3/a*e*f^2*c^2+12*I/d^3/a*f^3*c^2*x-6*I/d^3/a*f^3*p
olylog(2,-exp(I*(d*x+c)))*x-6*I/d^3/a*f^3*polylog(2,exp(I*(d*x+c)))*x+3*I/d^2/a*f^3*polylog(2,exp(I*(d*x+c)))*
x^2

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 15.8953, size = 10242, normalized size = 22.12 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)^3*csc(d*x+c)^2/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(3*c*e^2*f*((5*sin(d*x + c)/(cos(d*x + c) + 1) + 1)/(a*d*sin(d*x + c)/(cos(d*x + c) + 1) + a*d*sin(d*x + c
)^2/(cos(d*x + c) + 1)^2) + 2*log(sin(d*x + c)/(cos(d*x + c) + 1))/(a*d) - sin(d*x + c)/(a*d*(cos(d*x + c) + 1
))) - e^3*((5*sin(d*x + c)/(cos(d*x + c) + 1) + 1)/(a*sin(d*x + c)/(cos(d*x + c) + 1) + a*sin(d*x + c)^2/(cos(
d*x + c) + 1)^2) + 2*log(sin(d*x + c)/(cos(d*x + c) + 1))/a - sin(d*x + c)/(a*(cos(d*x + c) + 1))) + 2*(-24*I*
c^2*d*e*f^2 + 8*I*c^3*f^3 + (-12*I*d^2*e^2*f + 24*I*c*d*e*f^2 - 12*I*c^2*f^3 + 12*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c
^2*f^3)*cos(3*d*x + 3*c) + (12*I*d^2*e^2*f - 24*I*c*d*e*f^2 + 12*I*c^2*f^3)*cos(2*d*x + 2*c) - 12*(d^2*e^2*f -
2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3)*cos(d*x + c) + (12*I*d^2*e^2*f - 24*I*c*d*e*f^2 + 12*I*c^2*f^3)*sin(3*d*x + 3*c) - 12*
(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3)*sin(2*d*x + 2*c) + (-12*I*d^2*e^2*f + 24*I*c*d*e*f^2 - 12*I*c^2*f^3)*sin(d
*x + c))*arctan2(sin(d*x + c) + 1, cos(d*x + c)) + (12*I*(d*x + c)^2*f^3 + (24*I*d*e*f^2 - 24*I*c*f^3)*(d*x +
c) - 12*((d*x + c)^2*f^3 + 2*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + (-12*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-24*I*d
*e*f^2 + 24*I*c*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) + 12*((d*x + c)^2*f^3 + 2*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*cos(d*
x + c) + (-12*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-24*I*d*e*f^2 + 24*I*c*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) + 12*((d*x + c)^2*f
^3 + 2*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + (12*I*(d*x + c)^2*f^3 + (24*I*d*e*f^2 - 24*I*c*f^3)*(d*
x + c))*sin(d*x + c))*arctan2(cos(d*x + c), sin(d*x + c) + 1) + (-2*I*(d*x + c)^3*f^3 - 6*I*d^2*e^2*f + (-6*I*
c^2 + 12*I*c)*d*e*f^2 + (2*I*c^3 - 6*I*c^2)*f^3 + (-6*I*d*e*f^2 + (6*I*c - 6*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-6*I*d^2*e
^2*f + (12*I*c - 12*I)*d*e*f^2 + (-6*I*c^2 + 12*I*c)*f^3)*(d*x + c) + 2*((d*x + c)^3*f^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(c^
2 - 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 - 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c - 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e*f^
2 + (c^2 - 2*c)*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + (2*I*(d*x + c)^3*f^3 + 6*I*d^2*e^2*f + (6*I*c^2 - 12*I*c)*d
*e*f^2 + (-2*I*c^3 + 6*I*c^2)*f^3 + (6*I*d*e*f^2 + (-6*I*c + 6*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (6*I*d^2*e^2*f + (-12*I*c
+ 12*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^2 - 12*I*c)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) - 2*((d*x + c)^3*f^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*
(c^2 - 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 - 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c - 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e
*f^2 + (c^2 - 2*c)*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) + (2*I*(d*x + c)^3*f^3 + 6*I*d^2*e^2*f + (6*I*c^2 - 12*I*c)*d*
e*f^2 + (-2*I*c^3 + 6*I*c^2)*f^3 + (6*I*d*e*f^2 + (-6*I*c + 6*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (6*I*d^2*e^2*f + (-12*I*c
+ 12*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^2 - 12*I*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) - 2*((d*x + c)^3*f^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(
c^2 - 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 - 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c - 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e*
f^2 + (c^2 - 2*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + (-2*I*(d*x + c)^3*f^3 - 6*I*d^2*e^2*f + (-6*I*c^2 + 12*I*
c)*d*e*f^2 + (2*I*c^3 - 6*I*c^2)*f^3 + (-6*I*d*e*f^2 + (6*I*c - 6*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-6*I*d^2*e^2*f + (12*
I*c - 12*I)*d*e*f^2 + (-6*I*c^2 + 12*I*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*arctan2(sin(d*x + c), cos(d*x + c) + 1
) + (-6*I*d^2*e^2*f + (6*I*c^2 + 12*I*c)*d*e*f^2 + (-2*I*c^3 - 6*I*c^2)*f^3 + 2*(3*d^2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)*d
*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3)*cos(3*d*x + 3*c) + (6*I*d^2*e^2*f + (-6*I*c^2 - 12*I*c)*d*e*f^2 + (2*I*c^3 + 6*I*c
^2)*f^3)*cos(2*d*x + 2*c) - 2*(3*d^2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3)*cos(d*x + c) + (6*I*d^
2*e^2*f + (-6*I*c^2 - 12*I*c)*d*e*f^2 + (2*I*c^3 + 6*I*c^2)*f^3)*sin(3*d*x + 3*c) - 2*(3*d^2*e^2*f - 3*(c^2 +
2*c)*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3)*sin(2*d*x + 2*c) + (-6*I*d^2*e^2*f + (6*I*c^2 + 12*I*c)*d*e*f^2 + (-2*I*c^3
- 6*I*c^2)*f^3)*sin(d*x + c))*arctan2(sin(d*x + c), cos(d*x + c) - 1) + (-2*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-6*I*d*e*f^2
+ (6*I*c + 6*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-6*I*d^2*e^2*f + (12*I*c + 12*I)*d*e*f^2 + (-6*I*c^2 - 12*I*c)*f^3)*(d*x +
c) + 2*((d*x + c)^3*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c + 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (c^2 + 2
*c)*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + (2*I*(d*x + c)^3*f^3 + (6*I*d*e*f^2 + (-6*I*c - 6*I)*f^3)*(d*x + c)^2 +
(6*I*d^2*e^2*f + (-12*I*c - 12*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^2 + 12*I*c)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) - 2*((d*x + c
)^3*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c + 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (c^2 + 2*c)*f^3)*(d*x + c
))*cos(d*x + c) + (2*I*(d*x + c)^3*f^3 + (6*I*d*e*f^2 + (-6*I*c - 6*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (6*I*d^2*e^2*f + (-1
2*I*c - 12*I)*d*e*f^2 + (6*I*c^2 + 12*I*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) - 2*((d*x + c)^3*f^3 + 3*(d*e*f^2
- (c + 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (c^2 + 2*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) +
(-2*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-6*I*d*e*f^2 + (6*I*c + 6*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-6*I*d^2*e^2*f + (12*I*c + 12*I)*d*
e*f^2 + (-6*I*c^2 - 12*I*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*arctan2(sin(d*x + c), -cos(d*x + c) + 1) - 8*((d*x +
c)^3*f^3 + 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c
) + (12*I*c^2*d*e*f^2 - 4*I*(d*x + c)^3*f^3 - 4*I*c^3*f^3 + (-12*I*d*e*f^2 + 12*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 + (-12*I*
d^2*e^2*f + 24*I*c*d*e*f^2 - 12*I*c^2*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) - 4*(3*c^2*d*e*f^2 - (d*x + c)^3*f^3 -
c^3*f^3 - 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 - 3*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) + (2
4*I*d*e*f^2 + 24*I*(d*x + c)*f^3 - 24*I*c*f^3 - 24*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*cos(3*d*x + 3*c) + (-24*I
*d*e*f^2 - 24*I*(d*x + c)*f^3 + 24*I*c*f^3)*cos(2*d*x + 2*c) + 24*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)*cos(d*x +
c) + (-24*I*d*e*f^2 - 24*I*(d*x + c)*f^3 + 24*I*c*f^3)*sin(3*d*x + 3*c) + 24*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - c*f^3)
*sin(2*d*x + 2*c) + (24*I*d*e*f^2 + 24*I*(d*x + c)*f^3 - 24*I*c*f^3)*sin(d*x + c))*dilog(I*e^(I*d*x + I*c)) +
(6*I*d^2*e^2*f + (-12*I*c + 12*I)*d*e*f^2 + 6*I*(d*x + c)^2*f^3 + (6*I*c^2 - 12*I*c)*f^3 + (12*I*d*e*f^2 + (-1
2*I*c + 12*I)*f^3)*(d*x + c) - 6*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e*f^2 + (d*x + c)^2*f^3 + (c^2 - 2*c)*f^3 + 2*(d*e*f
^2 - (c - 1)*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + (-6*I*d^2*e^2*f + (12*I*c - 12*I)*d*e*f^2 - 6*I*(d*x + c)^2*f^
3 + (-6*I*c^2 + 12*I*c)*f^3 + (-12*I*d*e*f^2 + (12*I*c - 12*I)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) + 6*(d^2*e^2*f
- 2*(c - 1)*d*e*f^2 + (d*x + c)^2*f^3 + (c^2 - 2*c)*f^3 + 2*(d*e*f^2 - (c - 1)*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) +
(-6*I*d^2*e^2*f + (12*I*c - 12*I)*d*e*f^2 - 6*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-6*I*c^2 + 12*I*c)*f^3 + (-12*I*d*e*f^2 +
(12*I*c - 12*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) + 6*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e*f^2 + (d*x + c)^2*f^3 + (c^2 -
2*c)*f^3 + 2*(d*e*f^2 - (c - 1)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + (6*I*d^2*e^2*f + (-12*I*c + 12*I)*d*e*f^2
+ 6*I*(d*x + c)^2*f^3 + (6*I*c^2 - 12*I*c)*f^3 + (12*I*d*e*f^2 + (-12*I*c + 12*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c)
)*dilog(-e^(I*d*x + I*c)) + (-6*I*d^2*e^2*f + (12*I*c + 12*I)*d*e*f^2 - 6*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-6*I*c^2 - 12*I
*c)*f^3 + (-12*I*d*e*f^2 + (12*I*c + 12*I)*f^3)*(d*x + c) + 6*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (d*x + c)^2*f^3
+ (c^2 + 2*c)*f^3 + 2*(d*e*f^2 - (c + 1)*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) + (6*I*d^2*e^2*f + (-12*I*c - 12*I)
*d*e*f^2 + 6*I*(d*x + c)^2*f^3 + (6*I*c^2 + 12*I*c)*f^3 + (12*I*d*e*f^2 + (-12*I*c - 12*I)*f^3)*(d*x + c))*cos
(2*d*x + 2*c) - 6*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (d*x + c)^2*f^3 + (c^2 + 2*c)*f^3 + 2*(d*e*f^2 - (c + 1)*f^
3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) + (6*I*d^2*e^2*f + (-12*I*c - 12*I)*d*e*f^2 + 6*I*(d*x + c)^2*f^3 + (6*I*c^2 + 12*I
*c)*f^3 + (12*I*d*e*f^2 + (-12*I*c - 12*I)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) - 6*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2
+ (d*x + c)^2*f^3 + (c^2 + 2*c)*f^3 + 2*(d*e*f^2 - (c + 1)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + (-6*I*d^2*e^2*f
+ (12*I*c + 12*I)*d*e*f^2 - 6*I*(d*x + c)^2*f^3 + (-6*I*c^2 - 12*I*c)*f^3 + (-12*I*d*e*f^2 + (12*I*c + 12*I)*
f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*dilog(e^(I*d*x + I*c)) - ((d*x + c)^3*f^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(c^2 - 2*c)*d*e*f^2
- (c^3 - 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c - 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e*f^2 + (c^2 - 2*c)*f
^3)*(d*x + c) - (-I*(d*x + c)^3*f^3 - 3*I*d^2*e^2*f + (-3*I*c^2 + 6*I*c)*d*e*f^2 + (I*c^3 - 3*I*c^2)*f^3 + (-3
*I*d*e*f^2 + (3*I*c - 3*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-3*I*d^2*e^2*f + (6*I*c - 6*I)*d*e*f^2 + (-3*I*c^2 + 6*I*c)*f^3
)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) - ((d*x + c)^3*f^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(c^2 - 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 - 3*c^2)*f^3 + 3
*(d*e*f^2 - (c - 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e*f^2 + (c^2 - 2*c)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*
x + 2*c) - (I*(d*x + c)^3*f^3 + 3*I*d^2*e^2*f + (3*I*c^2 - 6*I*c)*d*e*f^2 + (-I*c^3 + 3*I*c^2)*f^3 + (3*I*d*e*
f^2 + (-3*I*c + 3*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*I*d^2*e^2*f + (-6*I*c + 6*I)*d*e*f^2 + (3*I*c^2 - 6*I*c)*f^3)*(d*x
+ c))*cos(d*x + c) - ((d*x + c)^3*f^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(c^2 - 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 - 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 -
(c - 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e*f^2 + (c^2 - 2*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) -
(I*(d*x + c)^3*f^3 + 3*I*d^2*e^2*f + (3*I*c^2 - 6*I*c)*d*e*f^2 + (-I*c^3 + 3*I*c^2)*f^3 + (3*I*d*e*f^2 + (-3*I
*c + 3*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*I*d^2*e^2*f + (-6*I*c + 6*I)*d*e*f^2 + (3*I*c^2 - 6*I*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(2
*d*x + 2*c) + ((d*x + c)^3*f^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(c^2 - 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 - 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c - 1
)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c - 1)*d*e*f^2 + (c^2 - 2*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(cos(d*x
+ c)^2 + sin(d*x + c)^2 + 2*cos(d*x + c) + 1) + ((d*x + c)^3*f^3 - 3*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3
+ 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c + 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (c^2 + 2*c)*f^3)*(d*
x + c) + (I*(d*x + c)^3*f^3 - 3*I*d^2*e^2*f + (3*I*c^2 + 6*I*c)*d*e*f^2 + (-I*c^3 - 3*I*c^2)*f^3 + (3*I*d*e*f^
2 + (-3*I*c - 3*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (3*I*d^2*e^2*f + (-6*I*c - 6*I)*d*e*f^2 + (3*I*c^2 + 6*I*c)*f^3)*(d*x +
c))*cos(3*d*x + 3*c) - ((d*x + c)^3*f^3 - 3*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2
- (c + 1)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (c^2 + 2*c)*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c)
+ (-I*(d*x + c)^3*f^3 + 3*I*d^2*e^2*f + (-3*I*c^2 - 6*I*c)*d*e*f^2 + (I*c^3 + 3*I*c^2)*f^3 + (-3*I*d*e*f^2 + (
3*I*c + 3*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-3*I*d^2*e^2*f + (6*I*c + 6*I)*d*e*f^2 + (-3*I*c^2 - 6*I*c)*f^3)*(d*x + c))*c
os(d*x + c) - ((d*x + c)^3*f^3 - 3*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c + 1
)*f^3)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (c^2 + 2*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) + (-I*(d*
x + c)^3*f^3 + 3*I*d^2*e^2*f + (-3*I*c^2 - 6*I*c)*d*e*f^2 + (I*c^3 + 3*I*c^2)*f^3 + (-3*I*d*e*f^2 + (3*I*c + 3
*I)*f^3)*(d*x + c)^2 + (-3*I*d^2*e^2*f + (6*I*c + 6*I)*d*e*f^2 + (-3*I*c^2 - 6*I*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x
+ 2*c) + ((d*x + c)^3*f^3 - 3*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d*e*f^2 - (c + 1)*f^3
)*(d*x + c)^2 + 3*(d^2*e^2*f - 2*(c + 1)*d*e*f^2 + (c^2 + 2*c)*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(cos(d*x + c)^
2 + sin(d*x + c)^2 - 2*cos(d*x + c) + 1) - (6*d^2*e^2*f - 12*c*d*e*f^2 + 6*(d*x + c)^2*f^3 + 6*c^2*f^3 + 12*(d
*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c) - (-6*I*d^2*e^2*f + 12*I*c*d*e*f^2 - 6*I*(d*x + c)^2*f^3 - 6*I*c^2*f^3 + (-12*I*d*e*
f^2 + 12*I*c*f^3)*(d*x + c))*cos(3*d*x + 3*c) - 6*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + (d*x + c)^2*f^3 + c^2*f^3 + 2*(d*
e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*cos(2*d*x + 2*c) - (6*I*d^2*e^2*f - 12*I*c*d*e*f^2 + 6*I*(d*x + c)^2*f^3 + 6*I*c^2*f
^3 + (12*I*d*e*f^2 - 12*I*c*f^3)*(d*x + c))*cos(d*x + c) - 6*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + (d*x + c)^2*f^3 + c^2*
f^3 + 2*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) - (6*I*d^2*e^2*f - 12*I*c*d*e*f^2 + 6*I*(d*x + c)^2*f^3
+ 6*I*c^2*f^3 + (12*I*d*e*f^2 - 12*I*c*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d*x + 2*c) + 6*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + (d*x +
c)^2*f^3 + c^2*f^3 + 2*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(cos(d*x + c)^2 + sin(d*x + c)^2 + 2*sin(
d*x + c) + 1) + (12*f^3*cos(3*d*x + 3*c) + 12*I*f^3*cos(2*d*x + 2*c) - 12*f^3*cos(d*x + c) + 12*I*f^3*sin(3*d*
x + 3*c) - 12*f^3*sin(2*d*x + 2*c) - 12*I*f^3*sin(d*x + c) - 12*I*f^3)*polylog(4, -e^(I*d*x + I*c)) - (12*f^3*
cos(3*d*x + 3*c) + 12*I*f^3*cos(2*d*x + 2*c) - 12*f^3*cos(d*x + c) + 12*I*f^3*sin(3*d*x + 3*c) - 12*f^3*sin(2*
d*x + 2*c) - 12*I*f^3*sin(d*x + c) - 12*I*f^3)*polylog(4, e^(I*d*x + I*c)) + (-24*I*f^3*cos(3*d*x + 3*c) + 24*
f^3*cos(2*d*x + 2*c) + 24*I*f^3*cos(d*x + c) + 24*f^3*sin(3*d*x + 3*c) + 24*I*f^3*sin(2*d*x + 2*c) - 24*f^3*si
n(d*x + c) - 24*f^3)*polylog(3, I*e^(I*d*x + I*c)) - (12*d*e*f^2 + 12*(d*x + c)*f^3 - 12*(c - 1)*f^3 - (-12*I*
d*e*f^2 - 12*I*(d*x + c)*f^3 + (12*I*c - 12*I)*f^3)*cos(3*d*x + 3*c) - 12*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - (c - 1)*f
^3)*cos(2*d*x + 2*c) - (12*I*d*e*f^2 + 12*I*(d*x + c)*f^3 + (-12*I*c + 12*I)*f^3)*cos(d*x + c) - 12*(d*e*f^2 +
(d*x + c)*f^3 - (c - 1)*f^3)*sin(3*d*x + 3*c) - (12*I*d*e*f^2 + 12*I*(d*x + c)*f^3 + (-12*I*c + 12*I)*f^3)*si
n(2*d*x + 2*c) + 12*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - (c - 1)*f^3)*sin(d*x + c))*polylog(3, -e^(I*d*x + I*c)) + (12*d
*e*f^2 + 12*(d*x + c)*f^3 - 12*(c + 1)*f^3 + (12*I*d*e*f^2 + 12*I*(d*x + c)*f^3 + (-12*I*c - 12*I)*f^3)*cos(3*
d*x + 3*c) - 12*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - (c + 1)*f^3)*cos(2*d*x + 2*c) + (-12*I*d*e*f^2 - 12*I*(d*x + c)*f^3
+ (12*I*c + 12*I)*f^3)*cos(d*x + c) - 12*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - (c + 1)*f^3)*sin(3*d*x + 3*c) + (-12*I*d*
e*f^2 - 12*I*(d*x + c)*f^3 + (12*I*c + 12*I)*f^3)*sin(2*d*x + 2*c) + 12*(d*e*f^2 + (d*x + c)*f^3 - (c + 1)*f^3
)*sin(d*x + c))*polylog(3, e^(I*d*x + I*c)) + (-8*I*(d*x + c)^3*f^3 + (-24*I*d*e*f^2 + 24*I*c*f^3)*(d*x + c)^2
+ (-24*I*d^2*e^2*f + 48*I*c*d*e*f^2 - 24*I*c^2*f^3)*(d*x + c))*sin(3*d*x + 3*c) - 4*(3*c^2*d*e*f^2 - (d*x + c
)^3*f^3 - c^3*f^3 - 3*(d*e*f^2 - c*f^3)*(d*x + c)^2 - 3*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3)*(d*x + c))*sin(2*d
*x + 2*c) + (-12*I*c^2*d*e*f^2 + 4*I*(d*x + c)^3*f^3 + 4*I*c^3*f^3 + (12*I*d*e*f^2 - 12*I*c*f^3)*(d*x + c)^2 +
(12*I*d^2*e^2*f - 24*I*c*d*e*f^2 + 12*I*c^2*f^3)*(d*x + c))*sin(d*x + c))/(-2*I*a*d^3*cos(3*d*x + 3*c) + 2*a*
d^3*cos(2*d*x + 2*c) + 2*I*a*d^3*cos(d*x + c) + 2*a*d^3*sin(3*d*x + 3*c) + 2*I*a*d^3*sin(2*d*x + 2*c) - 2*a*d^
3*sin(d*x + c) - 2*a*d^3))/d

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 3.96971, size = 10928, normalized size = 23.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)^3*csc(d*x+c)^2/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*d^3*f^3*x^3 + 6*d^3*e*f^2*x^2 + 6*d^3*e^2*f*x + 2*d^3*e^3 - 4*(d^3*f^3*x^3 + 3*d^3*e*f^2*x^2 + 3*d^3*e
^2*f*x + d^3*e^3)*cos(d*x + c)^2 - 2*(d^3*f^3*x^3 + 3*d^3*e*f^2*x^2 + 3*d^3*e^2*f*x + d^3*e^3)*cos(d*x + c) +
(3*I*d^2*f^3*x^2 + 3*I*d^2*e^2*f - 6*I*d*e*f^2 + (-3*I*d^2*f^3*x^2 - 3*I*d^2*e^2*f + 6*I*d*e*f^2 - 6*I*(d^2*e*
f^2 - d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2 + 6*I*(d^2*e*f^2 - d*f^3)*x + (3*I*d^2*f^3*x^2 + 3*I*d^2*e^2*f - 6*I*d*e*f^2 +
6*I*(d^2*e*f^2 - d*f^3)*x + (3*I*d^2*f^3*x^2 + 3*I*d^2*e^2*f - 6*I*d*e*f^2 + 6*I*(d^2*e*f^2 - d*f^3)*x)*cos(d*
x + c))*sin(d*x + c))*dilog(cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c)) + (-3*I*d^2*f^3*x^2 - 3*I*d^2*e^2*f + 6*I*d*e*f^2 +
(3*I*d^2*f^3*x^2 + 3*I*d^2*e^2*f - 6*I*d*e*f^2 + 6*I*(d^2*e*f^2 - d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2 - 6*I*(d^2*e*f^2 -
d*f^3)*x + (-3*I*d^2*f^3*x^2 - 3*I*d^2*e^2*f + 6*I*d*e*f^2 - 6*I*(d^2*e*f^2 - d*f^3)*x + (-3*I*d^2*f^3*x^2 -
3*I*d^2*e^2*f + 6*I*d*e*f^2 - 6*I*(d^2*e*f^2 - d*f^3)*x)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*dilog(cos(d*x + c) - I*si
n(d*x + c)) + (-12*I*d*f^3*x - 12*I*d*e*f^2 + (12*I*d*f^3*x + 12*I*d*e*f^2)*cos(d*x + c)^2 + (-12*I*d*f^3*x -
12*I*d*e*f^2 + (-12*I*d*f^3*x - 12*I*d*e*f^2)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*dilog(I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c))
+ (12*I*d*f^3*x + 12*I*d*e*f^2 + (-12*I*d*f^3*x - 12*I*d*e*f^2)*cos(d*x + c)^2 + (12*I*d*f^3*x + 12*I*d*e*f^2
+ (12*I*d*f^3*x + 12*I*d*e*f^2)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*dilog(-I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c)) + (3*I*d^2*
f^3*x^2 + 3*I*d^2*e^2*f + 6*I*d*e*f^2 + (-3*I*d^2*f^3*x^2 - 3*I*d^2*e^2*f - 6*I*d*e*f^2 - 6*I*(d^2*e*f^2 + d*f
^3)*x)*cos(d*x + c)^2 + 6*I*(d^2*e*f^2 + d*f^3)*x + (3*I*d^2*f^3*x^2 + 3*I*d^2*e^2*f + 6*I*d*e*f^2 + 6*I*(d^2*
e*f^2 + d*f^3)*x + (3*I*d^2*f^3*x^2 + 3*I*d^2*e^2*f + 6*I*d*e*f^2 + 6*I*(d^2*e*f^2 + d*f^3)*x)*cos(d*x + c))*s
in(d*x + c))*dilog(-cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c)) + (-3*I*d^2*f^3*x^2 - 3*I*d^2*e^2*f - 6*I*d*e*f^2 + (3*I*d^
2*f^3*x^2 + 3*I*d^2*e^2*f + 6*I*d*e*f^2 + 6*I*(d^2*e*f^2 + d*f^3)*x)*cos(d*x + c)^2 - 6*I*(d^2*e*f^2 + d*f^3)*
x + (-3*I*d^2*f^3*x^2 - 3*I*d^2*e^2*f - 6*I*d*e*f^2 - 6*I*(d^2*e*f^2 + d*f^3)*x + (-3*I*d^2*f^3*x^2 - 3*I*d^2*
e^2*f - 6*I*d*e*f^2 - 6*I*(d^2*e*f^2 + d*f^3)*x)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*dilog(-cos(d*x + c) - I*sin(d*x +
c)) + (d^3*f^3*x^3 + d^3*e^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(d^3*e*f^2 + d^2*f^3)*x^2 - (d^3*f^3*x^3 + d^3*e^3 + 3*d^2*e^2
*f + 3*(d^3*e*f^2 + d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f + 2*d^2*e*f^2)*x)*cos(d*x + c)^2 + 3*(d^3*e^2*f + 2*d^2*e*f^2)
*x + (d^3*f^3*x^3 + d^3*e^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(d^3*e*f^2 + d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f + 2*d^2*e*f^2)*x + (d^3
*f^3*x^3 + d^3*e^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(d^3*e*f^2 + d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f + 2*d^2*e*f^2)*x)*cos(d*x + c))*
sin(d*x + c))*log(cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c) + 1) + 6*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3 - (d^2*e^2*f - 2*c
*d*e*f^2 + c^2*f^3)*cos(d*x + c)^2 + (d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3 + (d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3)*
cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c) + I) + (d^3*f^3*x^3 + d^3*e^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*
(d^3*e*f^2 + d^2*f^3)*x^2 - (d^3*f^3*x^3 + d^3*e^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(d^3*e*f^2 + d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f
+ 2*d^2*e*f^2)*x)*cos(d*x + c)^2 + 3*(d^3*e^2*f + 2*d^2*e*f^2)*x + (d^3*f^3*x^3 + d^3*e^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(d
^3*e*f^2 + d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f + 2*d^2*e*f^2)*x + (d^3*f^3*x^3 + d^3*e^3 + 3*d^2*e^2*f + 3*(d^3*e*f^2
+ d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f + 2*d^2*e*f^2)*x)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(cos(d*x + c) - I*sin(d*x + c)
+ 1) + 6*(d^2*f^3*x^2 + 2*d^2*e*f^2*x + 2*c*d*e*f^2 - c^2*f^3 - (d^2*f^3*x^2 + 2*d^2*e*f^2*x + 2*c*d*e*f^2 - c
^2*f^3)*cos(d*x + c)^2 + (d^2*f^3*x^2 + 2*d^2*e*f^2*x + 2*c*d*e*f^2 - c^2*f^3 + (d^2*f^3*x^2 + 2*d^2*e*f^2*x +
2*c*d*e*f^2 - c^2*f^3)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c) + 1) + 6*(d^2*f^3*x^2 +
2*d^2*e*f^2*x + 2*c*d*e*f^2 - c^2*f^3 - (d^2*f^3*x^2 + 2*d^2*e*f^2*x + 2*c*d*e*f^2 - c^2*f^3)*cos(d*x + c)^2 +
(d^2*f^3*x^2 + 2*d^2*e*f^2*x + 2*c*d*e*f^2 - c^2*f^3 + (d^2*f^3*x^2 + 2*d^2*e*f^2*x + 2*c*d*e*f^2 - c^2*f^3)*
cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(-I*cos(d*x + c) + sin(d*x + c) + 1) - (d^3*e^3 - 3*(c + 1)*d^2*e^2*f + 3*(c^2
+ 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3 - (d^3*e^3 - 3*(c + 1)*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^
3)*cos(d*x + c)^2 + (d^3*e^3 - 3*(c + 1)*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3 + (d^3*e^3 - 3*
(c + 1)*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(-1/2*cos(d*x +
c) + 1/2*I*sin(d*x + c) + 1/2) - (d^3*e^3 - 3*(c + 1)*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3 -
(d^3*e^3 - 3*(c + 1)*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3)*cos(d*x + c)^2 + (d^3*e^3 - 3*(c +
1)*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3 + (d^3*e^3 - 3*(c + 1)*d^2*e^2*f + 3*(c^2 + 2*c)*d*e
*f^2 - (c^3 + 3*c^2)*f^3)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(-1/2*cos(d*x + c) - 1/2*I*sin(d*x + c) + 1/2) - (d^3
*f^3*x^3 + 3*c*d^2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d^3*e*f^2 - d^2*f^3)*x^2 - (d^3*f^3*
x^3 + 3*c*d^2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d^3*e*f^2 - d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f -
2*d^2*e*f^2)*x)*cos(d*x + c)^2 + 3*(d^3*e^2*f - 2*d^2*e*f^2)*x + (d^3*f^3*x^3 + 3*c*d^2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)
*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d^3*e*f^2 - d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f - 2*d^2*e*f^2)*x + (d^3*f^3*x^3 + 3*
c*d^2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d^3*e*f^2 - d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f - 2*d^2*e
*f^2)*x)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(-cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c) + 1) + 6*(d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^
2*f^3 - (d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3)*cos(d*x + c)^2 + (d^2*e^2*f - 2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3 + (d^2*e^2*f -
2*c*d*e*f^2 + c^2*f^3)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(-cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c) + I) - (d^3*f^3*x^3 + 3
*c*d^2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d^3*e*f^2 - d^2*f^3)*x^2 - (d^3*f^3*x^3 + 3*c*d^
2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d^3*e*f^2 - d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f - 2*d^2*e*f^2
)*x)*cos(d*x + c)^2 + 3*(d^3*e^2*f - 2*d^2*e*f^2)*x + (d^3*f^3*x^3 + 3*c*d^2*e^2*f - 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 + (
c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d^3*e*f^2 - d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f - 2*d^2*e*f^2)*x + (d^3*f^3*x^3 + 3*c*d^2*e^2*f
- 3*(c^2 + 2*c)*d*e*f^2 + (c^3 + 3*c^2)*f^3 + 3*(d^3*e*f^2 - d^2*f^3)*x^2 + 3*(d^3*e^2*f - 2*d^2*e*f^2)*x)*cos
(d*x + c))*sin(d*x + c))*log(-cos(d*x + c) - I*sin(d*x + c) + 1) + (6*I*f^3*cos(d*x + c)^2 - 6*I*f^3 + (-6*I*f
^3*cos(d*x + c) - 6*I*f^3)*sin(d*x + c))*polylog(4, cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c)) + (-6*I*f^3*cos(d*x + c)^2
+ 6*I*f^3 + (6*I*f^3*cos(d*x + c) + 6*I*f^3)*sin(d*x + c))*polylog(4, cos(d*x + c) - I*sin(d*x + c)) + (6*I*f^
3*cos(d*x + c)^2 - 6*I*f^3 + (-6*I*f^3*cos(d*x + c) - 6*I*f^3)*sin(d*x + c))*polylog(4, -cos(d*x + c) + I*sin(
d*x + c)) + (-6*I*f^3*cos(d*x + c)^2 + 6*I*f^3 + (6*I*f^3*cos(d*x + c) + 6*I*f^3)*sin(d*x + c))*polylog(4, -co
s(d*x + c) - I*sin(d*x + c)) - 6*(d*f^3*x + d*e*f^2 - f^3 - (d*f^3*x + d*e*f^2 - f^3)*cos(d*x + c)^2 + (d*f^3*
x + d*e*f^2 - f^3 + (d*f^3*x + d*e*f^2 - f^3)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*polylog(3, cos(d*x + c) + I*sin(d*x
+ c)) - 6*(d*f^3*x + d*e*f^2 - f^3 - (d*f^3*x + d*e*f^2 - f^3)*cos(d*x + c)^2 + (d*f^3*x + d*e*f^2 - f^3 + (d*
f^3*x + d*e*f^2 - f^3)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*polylog(3, cos(d*x + c) - I*sin(d*x + c)) - 12*(f^3*cos(d*x
+ c)^2 - f^3 - (f^3*cos(d*x + c) + f^3)*sin(d*x + c))*polylog(3, I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c)) - 12*(f^3*cos
(d*x + c)^2 - f^3 - (f^3*cos(d*x + c) + f^3)*sin(d*x + c))*polylog(3, -I*cos(d*x + c) - sin(d*x + c)) + 6*(d*f
^3*x + d*e*f^2 + f^3 - (d*f^3*x + d*e*f^2 + f^3)*cos(d*x + c)^2 + (d*f^3*x + d*e*f^2 + f^3 + (d*f^3*x + d*e*f^
2 + f^3)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*polylog(3, -cos(d*x + c) + I*sin(d*x + c)) + 6*(d*f^3*x + d*e*f^2 + f^3 -
(d*f^3*x + d*e*f^2 + f^3)*cos(d*x + c)^2 + (d*f^3*x + d*e*f^2 + f^3 + (d*f^3*x + d*e*f^2 + f^3)*cos(d*x + c))
*sin(d*x + c))*polylog(3, -cos(d*x + c) - I*sin(d*x + c)) - 2*(d^3*f^3*x^3 + 3*d^3*e*f^2*x^2 + 3*d^3*e^2*f*x +
d^3*e^3 + 2*(d^3*f^3*x^3 + 3*d^3*e*f^2*x^2 + 3*d^3*e^2*f*x + d^3*e^3)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))/(a*d^4*cos(
d*x + c)^2 - a*d^4 - (a*d^4*cos(d*x + c) + a*d^4)*sin(d*x + c))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)**3*csc(d*x+c)**2/(a+a*sin(d*x+c)),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x+e)^3*csc(d*x+c)^2/(a+a*sin(d*x+c)),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out